一次函数背景下的角度问题，两角和为45度，如何转化非常关键！

如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，设OA=a，OB=b且a、b满足|a+b-12|+a2-12a+36=0

(1)求点C的坐标；

(2)如图2，点P在OC上(点P不与O、C重合)，连接AP，BF⊥AP交AO于点E，设点P的横坐标为t，△ABE的面积为S，请用含t的代数式表示S；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接CF，∠CFP+∠CAP=45°，求点P的坐标.

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解：(1)C(6,0)

(2) 由∠OBE+∠OPA=90°，∠OAP+∠OPA=90°得∠OBE=∠OAP，同时OA=OB，∠BOE=∠POA，得△BOE≌△AOP，故OP=OE=t，AE=6-t，故S△ABE=18-3t

(3) 方法一：多次全等

第一步：由∠CPA+∠OAP=45°，∠PCF+∠CAP=45°，得∠OAP=∠PCF，设∠PCF=α，则易知∠OCF=90°-2α，

第二步：连接OF，作OM⊥BF，ON⊥AP，∠OEF+∠OPF=180°，∠OEM+∠OEF=180°得∠OEM=∠PON，而由(1)知OE=OP，∠OME=∠ONP，故OME≌△ONP；(此处OE=OP，∠POE=∠EFP=90°，为邻边相等对角互补模型)

得OM=ON，故OF平分∠MFN，由此可是∠OFC=∠FOC=45°+α，故OF=OC=OB；

第三步：在BF上取一点G使FG=FP，由此△OFG≌△OFP，得OG=OP,∠OGF=∠OPF，故∠OGB=∠CPF，同时CF=OB，得△OBG≌△FCP，CP=OG，故CP=OP=3,即t=3.

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方法二：二次相似

过点C作CD⊥x轴交AP延长线于点D，由∠CPA+∠OAP=45°，∠PCF+∠CAP=45°，得∠OAP=∠PCF，同时∠OAP=∠D，故∠PCF=∠D，CP=CD，易知△OAP~△CDP，得CD=

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；而△CPF~△CFB得CF2=

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，由此可得

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得t=3(当然，同学们可直接由方法一的导角知OC=FC，而CF=CD，可直接证明△CDP≌△OAP，可得P为OC中点)

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点评：方法一，同学们要看出模型，方可高效率的解决问题，不过全等过多，辅助线对多数同学并不友好，同学们平时需注重积累；

而方法二，直接看出相似，而辅助线则是转化角度，思考比较顺畅.

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